『数学のおもしろさ』を読んで(解答:後編)
書名:『数学のおもしろさ』(原題『Mathematician's Delight 』)
著者:ソーヤー(W. W. Sawyer)
訳者:東健一
解答:前編は『数学のおもしろさ』を読んで(解答:前編) - heyheytower
【2016/12/23 追記 : 提供ファイルをdropboxのpublicフォルダから、googleドライブへ移行】
解答
P.101
(1)
a+b=3
4a+2b=10
より、
(2)
3,4,x,24,43
x=11
P.104
A1
L [m] の鋼鉄は温度を T °C 上げると長さが 0.000013LT 増加する。
1 km の鋼鉄の温度が 10 °C 上昇すると、
1000*0.000013*10=0.13
上記より、13 [cm] 増加する。
A2
摂氏15°は、華氏59°。
華氏90°は、摂氏 290/9 °
A3
x フィートでは、5x ポンド
A4
1平方メートルにつき 65t のレンガの重量安全率で、x 平方メートルでは
の重量に耐え得る。1平方メートルにつき 600t の特殊レンガの重量安全率で、x 平方メートルでは
の重量に耐え得る。1000 t の重量に耐え得るレンガの基礎工事で、土台の形を正方形にするには、一辺を下記の長さ [m] にする必要がある。
普通のレンガでは、
特殊レンガでは、
の長さ [m] が必要である。
A5
maxima による検算は下記。
(%i9) f(y):=159/800*y^2; 159 2 (%o9) f(y) := --- y 800 (%i10) float(f(20)); (%o10) 79.5 (%i11) float(f(40)); (%o11) 318.0 (%i12) float(f(60)); (%o12) 715.5
A6
駅の数が x あれば、区画の数は
である。
これは、第6表の数(パスカルの三角)の、x 段目の3番目を示している。コンビネーションで言うと、x段目の2番目なので
となる。maxima で検算すると
(%i14) load(functs);
(%o14) /usr/share/maxima/5.20.1/share/simplification/functs.mac
(%i15) combination(2,2);
(%o15) 1
(%i16) combination(3,2);
(%o16) 3
(%i17) combination(4,2);
(%o17) 6
(%i18) combination(5,2);
(%o18) 10
(%i19) combination(6,2);
(%o19) 15
駅の数が x あれば、角の数 f(x) は
である。
A7
n-1
A8
(1) 5 inch
(2) 2.5 inch
(3) 約3.8 inch
A9
(1) 18750 ポンド
(2) 3 inch
A10
(1) 4/100, 9/100, 16/100
(2) 106.49 inch
(3) 13779 本 (250/(4/100*0.4536))
(4) 6124 本
P.118
A1
A2
A3
A4
A5
A8
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
A9
(1) 61 → 16
(2) 13 → 16
(3) 0 → -6
(4) 49 → 46
(5) 4640 → 4840
A10
4252 → 4225
A11
7065 → 7056
P.139
A10
(1) 真
(2) 真
(3) 真
A11
(1) x=0 では真、x≠0では偽
(2) 真
(3) 猫は6、犬は8。1.5秒後に追いつく。
P.141
「例えば,鎖の両端を止めてぶら下げた場合,この鎖が描く曲線を求めたり」
「橋にかかる力の分布状態を求めることもできる」
P.159
A2
A3
A4
(ii)が正しい。パチンコの中にある時は直線で加速度が増している状態のため。
A5
A6
まずグラフ作製のため、主人と犬の位置関係を計算する。
主人は 15 [cm/0.1s]、犬は 60 [cm/0.1s]より、表計算ソフトで 0.1 秒毎のx,y座標の位置を計算する。159_6.csv - Google ドライブ(秒数は1, 2, 3 であることに注意)
159_6.xls - Google スプレッドシート※犬の座標に関しては、時間経過の都度、主人との角度を arctangent で計算し、各時間各位置におけるx,y成分を求めます。
これを gnuplot でグラフにする。
$ gnuplot -q
gnuplot> set yr [0:1000]
gnuplot> set xr [0:250]
gnuplot> set terminal png size 480,360
Terminal type set to 'png'
Options are 'nocrop font /usr/share/fonts/truetype/ttf-liberation/LiberationSans-Regular.ttf 12 size 480,360 '
gnuplot> set output '159_6.png'
gnuplot> plot "159_6.csv" u 5:4, "" u 5:4 with line上記グラフより、1.6秒で主人に追いつくことがわかる。
A6
「真直に主人に出会える地点へ走っていくわけである。」
犬のスタート地点、主人、主人のスタート地点を結ぶ最小の三角形を考える。 (%i38) solve(81+(1.5*t)^2=(6.0*t)^2,t); rat: replaced -33.75 by -135/4 = -33.75 2 sqrt(3) 2 sqrt(3) (%o38) [t = - ---------, t = ---------] sqrt(5) sqrt(5) 上記より、犬は、犬のスタートと主人のスタート地点を結ぶ直線より下記の度数東にずれて走れば、 およそ1.55秒後に主人に出会える。 (%i44) arccos(6*2*sqrt(3/5)/9); 4 (%o44) arccos(---------------) sqrt(3) sqrt(5)
※この問題は上記2パターンの明確な差を出すために、人の速度をもっと早くするなり、犬の距離を 9m より離す必要があると考えられる。
P.176
「燈台が点(0,0)にあるとして,舟がすべて真直これに向かって航行するとすれば、式は y'=y/x である.」
上記は傾きについてである。下記にベクトルでこれを示した。
※ 'シェルによるプロットデータ作成' で作製したデータ176_vector.dat - Google ドライブ
点(0,0)に向かう舟の関数を
とすると、第一象限で各点の x, y 成分は下記で示される。
各点における、x,y 成分を計算したプロットデータを作成し、gnuplotでグラフにします。
【シェルによるプロットデータ作成】
seq 1 1 100 | awk '{ print $1%10 }' > 1
sort -n 1 > 2
paste 1 2 -d "," > 3
cat 3 | awk -F "," '{ print $1 " " $2 " " (-$1/sqrt($1^2+$2^2)) " " (-$2/sqrt($1^2+$2^2)) }' > vector.dat
rm 1 2 3
sed -i -e "s/nan/0/g" vector.dat【gnuplot のコマンド】
gnuplot> set size ratio -1
gnuplot> set terminal png size 480,360
gnuplot> set output '176_1.png'
gnuplot> plot "./vector.dat" with vector
P.199
A1
[radian]->[degree]
(%i3) float(3/8*180/%pi);
(%o3) 21.48591731740587
(%i4) float(1*180/%pi);
(%o4) 57.29577951308232
(%i5) float(2.5*180/%pi);
(%o5) 143.2394487827058
(%i6) float(5*180/%pi);
(%o6) 286.4788975654116[degree]->[radian]
(%i8) float(10*%pi/180);
(%o8) 0.17453292519943
(%i9) float(50*%pi/180);
(%o9) 0.87266462599716
(%i10) float(95*%pi/180);
(%o10) 1.658062789394613
(%i11) float(184*%pi/180);
(%o11) 3.211405823669566
A3
A4
A5
A6
A7
maxima 計算結果より
(%i31) float(200*cos(37*%pi/180));
(%o31) 159.7271020094586
(%i32) float(200*sin(37*%pi/180));
(%o32) 120.3630046304097
東に 160 km、北に 120 km 変化した。
A8
maxima 計算結果より
(%i37) float(30*sin(40*%pi/180));
(%o37) 19.28362829059618
(%i38) float(30*cos(40*%pi/180));
(%o38) 22.98133329356934
(%i39) float(30*cos(40*%pi/180)-10);
(%o39) 12.98133329356934
東に 13.0 km、北に 19.3 km 変化した。
A9
maxima 計算結果より
(%i45) float(40*cos(70*%pi/180)+20*cos(110*%pi/180));
(%o45) 6.840402866513379
(%i46) float(40*sin(70*%pi/180)+20*sin(110*%pi/180));
(%o46) 56.3815572471545
東に 6.8 km、北に 56.4 km 変化した。
A10
maxima 計算結果より
(%i47) float(100*sin(315*%pi/180)+150*sin(80*%pi/180));
(%o47) 77.01048483317642
(%i48) float(100*cos(315*%pi/180)+150*cos(80*%pi/180));
(%o48) 96.75790476869433
東に 96.6 km、北に 77.0 km 変化した。
A11
maxima 計算結果より
(%i49) float(100*sin(2*%pi/180));
(%o49) 3.489949670250097
(%i50) float(100*cos(2*%pi/180));
(%o50) 99.93908270190957東に 96.6 km、北に 77.0 km 変化した。
街が飛行機の出発点に対して真東があるとして、飛行機が2°ずれて飛んだ場合、西に 0.1 km、北に 3.5 km 離れる。
A12
イブスウィッチとポイーターボローの間の距離 [哩(マイル)]は
(%i4) float(sqrt(65^2+75^2-2*65*75*cos((95-65)*%pi/180)));
(%o4) 37.50003084134364ポイーターボローとバーミンガム間の距離 [哩(マイル)]は
(%i5) float(sqrt(75^2+105^2-2*75*105*cos((139-95)*%pi/180)));
(%o5) 72.94105938815424バーミンガムとイブスウィッチ間の距離 [哩(マイル)]は
(%i6) float(sqrt(65^2+105^2-2*65*105*cos((139-36)*%pi/180)));
(%o6) 135.3535440680951
P.211
1年に5%は1ヶ月にすればどのくらいの割になるか
(%i8) 1.05^(1/12);
(%o8) 1.004074123783648
P.220
はすぐ求められる.
(%i12) integrate((1/2*(%e^(%i*x)+%e^(-%i*x)))^6,x); 6 %i x 4 %i x 2 %i x - 2 %i x %i %e 3 %i %e 15 %i %e 15 %i %e (%o12) (- ----------- - ------------- - -------------- + ---------------- 6 2 2 2 - 4 %i x - 6 %i x 3 %i %e %i %e + --------------- + ------------- + 20 x)/64 2 6 (%i13) integrate((1/2*(%e^(%i*x)+%e^(-%i*x)))^2,x); 2 %i x - 2 %i x %i %e %i %e - ----------- + ------------- + 2 x 2 2 (%o13) ----------------------------------- 4
誤りがあれば、是非ご指摘をいただけましたらと存じます。
以上。